与老年朋友聊九宫格18.逆Z字法

一、逆Z字法的基本型和线路图

（1）基本型和线路图

（2）逆Z字法与Z字法的区别与联系

两者线路图图形完全相同，都是个Z字，但起点、终点、运行方向相反。Z字法九宫格成中心对称的两数都互相交换位置后，就变成了逆Z字法九宫格。反之亦然。

（3）布宫特点比较：

Z字法：左一右九，上三下七；起步向上，中段撇向。

逆Z字法：左九右一，下三上七；起步向下，中段上提。

二、逆Z字法应用解析

【例一】九宫格九数为从小到大排列的公差为3的等差数列，次大数为69。按逆Z字法填入九宫格，使三行三列两条对角线上的三数之和都相等。

【解析】最大数=69+3=72

九数从小到大排列为

48-51-54-57-60-63-66-69-72

将九数按逆Z字法“左九右一，起步向下”口诀，从最小数起顺次按逆“Z”字走向填入九宫格，然后②⑧互换，如图。

【例二】九宫格九数按递增式排列，首尾之和为96，首尾之比为1：3。按逆Z字法填入九宫格，使段内差尽可能大，行列斜三数之和都相等。

【解析】（1）用和倍公式求首未两数

最小数=和÷（倍数+1）

=96÷（3+1）=24

最大数=最小数×倍数

=24×3=72

（2）求两差推九数

因为最大数、最小数已定，要使段内差尽可能大，则段间差就要尽可能小。设段间差D=1，则段内差

d=（72-24-1×2）÷6=6

由此推出其余各数，九数从小到大排列为

24-32-40/41-49-57/58-66-72

（3）填数

将九数按逆Z字法“左九右一，起步向下”口诀，从最小数起按逆“Z”字走向顺次填入九宫格，然后②⑧互换，如图。

【例三】九宫格已有16、20两数按逆Z字法入宫，如图。再填入七个不同的自然数，满足：①九数为递增式排列；②行列斜三数之和都相等。

【解析】重点剖析：本题如果没有满足①的限制，为开放性题目，会有无数种答案。有了这个限制段间差D≥1，使“段内差d×2+段间差D=4”的不定方程，“d=1，D=2”成了唯一解，从而使九宫格成为唯一。

（1）求两差。逆Z字法“左九右一，起步向下”，16、20分别为①④宫位，则

段内差d×2+段间差D=20-16

2d+D=4……①

因为九数按递增式排列，段间差D≥1，所以不定方程①的解：d=1，D=2是唯一的一组符合题意的解。

（2）推七数，排九数

已知两数两差推出其余各数，九数按从小到大（亦三段两等差）顺序排列为

16-17-18/20-21-22/24-25-26

（3）填数

按逆Z字法“左九右一，起步向下”的口诀，从最小数起按逆Z字走向顺次填入九宫格，然后②⑧互换，如图。

三、逆Z字法应用练习

【练习1】九宫格九数是两位偶数。将九数按逆Z字法填入九宫格，使九数之和最大，三行三列两条对角线上的三数之和都相等。

【练习2】九宫格九数按递增式排列，首尾之和为66，首尾之比为3：8。按逆Z字法填入九宫格，使段间差尽可能大，行列斜三数之和都相等。[提示：和倍问题公式：最小数=和÷（倍数+1）；最大数=最小数×倍数]

【练习3】九宫格已有17、25两数按逆Z字法入宫，如图。再填入七个不同的自然数，满足：①九数为递增式排列，段间差小于段内差；②行列斜三数之和都相等。

[提示：求解关于两差的不定方程时，须进行两差取值范围的讨论，选出符合题意的一组解]